Wie wandelt man eine periodische dezimalzahl in einen bruch um

Es gibt Situationen, in denen wir Dezimalzahlen haben, die in der schriftlichen Darstellung periodisch sind. Das bedeutet, dass sich eine oder mehrere Ziffern nach dem Komma unendlich wiederholen. Zum Beispiel: 0,3333… oder 0,714285714285… Solche Zahlen können unpraktisch sein, wenn wir Brüche als präzisere und handlichere Darstellung bevorzugen.

Glücklicherweise gibt es eine Methode, um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. Diese Methode wird als Bruchentwicklung bezeichnet und basiert auf dem Prinzip der Unendlichen Geometrischen Reihe. Sie ermöglicht es uns, die wiederkehrende Periode der Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, der sie präzise darstellt.

Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir die Periode isolieren. Dazu multiplizieren wir sowohl die Dezimalzahl als auch den Bruch mit einem passenden Zehnerpotenzfaktor, um die Periode zu entfernen. Anschließend subtrahieren wir den ursprünglichen Bruch vom erweiterten Bruch, um die Periode zu isolieren.

Indem wir die isolierte Periode als eine Art Unbekannte betrachten und sie durch eine Variable darstellen, können wir eine einfache Gleichung aufstellen und lösen. Dies ermöglicht es uns, den Wert der isolierten Periode zu bestimmen und ihn in den ursprünglichen Bruch einzufügen, um eine präzisere Bruchdarstellung der ursprünglichen periodischen Dezimalzahl zu erhalten.

Was ist eine periodische Dezimalzahl?

Eine periodische Dezimalzahl ist eine Zahl, deren Nachkommastellen sich in einem periodischen Muster wiederholen. Das bedeutet, dass ein oder mehrere Ziffern, die sich nach dem Komma befinden, sich immer wieder wiederholen.

Um eine periodische Dezimalzahl zu erkennen, kann man einen Strich über die zyklische Ziffernfolge setzen. Eine endliche periodische Dezimalzahl kann als einen Bruch dargestellt werden, indem man den periodischen Teil über eine passende Potenz von 10 schreibt und anschließend berechnet.

Es gibt zwei Arten von periodischen Dezimalzahlen: endliche und unendliche. Eine endliche periodische Dezimalzahl hat einen periodischen Teil, der aus einer bestimmten Anzahl von Ziffern besteht. Zum Beispiel ist 0,333 eine endliche periodische Dezimalzahl, die durch den Bruch 1/3 dargestellt werden kann.

Eine unendliche periodische Dezimalzahl hat einen periodischen Teil, der unendlich lange wiederholt wird. Zum Beispiel ist 0,666… eine unendliche periodische Dezimalzahl, die auch als 2/3 geschrieben werden kann.

Periodische Dezimalzahlen haben Anwendungen in der Mathematik und der Physik. Sie können verwendet werden, um bestimmte Probleme zu lösen oder um mathematische Konzepte zu erklären. Es ist wichtig, periodische Dezimalzahlen zu verstehen, um sie in anderen mathematischen Bereichen anwenden zu können.

Definition und Beispiele

Definition

Wenn eine Dezimalzahl periodisch ist, bedeutet das, dass sich ein bestimmtes Muster von Ziffern immer wiederholt. Dieses Muster kann eine einzelne Ziffer sein oder eine Gruppe von Ziffern.

Beispiel: Die Dezimalzahl 0,3333… hat das Muster 3 und wiederholt sich unendlich oft.

Umwandlung in einen Bruch

Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, können wir eine einfache Formel verwenden. Wir nehmen zuerst die periodischen Ziffern und setzen sie in den Zähler des Bruches. Im Nenner setzen wir so viele 9en, wie es periodische Ziffern gibt, und dann ziehen wir den Teil ohne Perioden ab.

Beispiel: Um die Dezimalzahl 0,3333… in einen Bruch umzuwandeln, setzen wir die periodische Ziffer 3 in den Zähler und die Anzahl der Ziffern (1) in den Nenner. Der Bruch lautet also 3/9, was zu dem gekürzten Bruch 1/3 führt.

Weitere Beispiele

Hier sind weitere Beispiele, wie man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kann:

Wie man sehen kann, kann man periodische Dezimalzahlen durch Umwandlung in Brüche in einer einfacheren Form darstellen.

Die Grundlagen des Bruches

Ein Bruch ist eine mathematische Darstellung von Teilen eines Ganzen. Er besteht aus zwei Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, die durch einen Bruchstrich getrennt sind. Der Zähler gibt an, wie viele Teile gefordert sind, während der Nenner angibt, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt ist.

Brüche können in verschiedenen Formen dargestellt werden. Es gibt echte Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner, und unechte Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Des Weiteren gibt es gemischte Zahlen, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch bestehen.

Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie zu einem gemeinsamen Nenner umgewandelt werden. Dies kann durch Multiplikation der Zähler und Nenner mit dem gleichen Wert erreicht werden.

Beispiel:

• Bruch 1: 2/3
• Bruch 2: 1/4

Um diese Brüche zu addieren, müssen wir sie zu einem gemeinsamen Nenner umwandeln. Der kleinste gemeinsame Nenner für 3 und 4 ist 12. Daher multiplizieren wir den Zähler und den Nenner von Bruch 1 mit 4 und den Zähler und den Nenner von Bruch 2 mit 3.

Nun können wir die beiden Brüche addieren, indem wir die Zähler zusammenzählen:

8/12 + 3/12 = 11/12

Das Ergebnis ist also 11/12.

Zähler und Nenner

Der Zähler und der Nenner sind zwei wichtige Begriffe beim Umwandeln einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch. Sie geben die beiden Komponenten des Bruchs an.

Der Zähler zeigt an, wie viele Einheiten der periodischen Dezimalzahl vorhanden sind. Zum Beispiel ist der Zähler bei der periodischen Dezimalzahl 0,3333… gleich 3, da es sich um drei Dreien handelt.

Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile die Einheit aufgeteilt wird. Bei einer periodischen Dezimalzahl mit einer Periode von einer Stelle hat der Nenner die Form 9 (z.B. 0,1111…), da es sich um einen neuntel Teil der Einheit handelt. Bei einer Periode von zwei Stellen hat der Nenner die Form 99 (z.B. 0,010101…), da es sich um einen neunundneunzigstel Teil der Einheit handelt.

Um einen Bruch aus einer periodischen Dezimalzahl zu bilden, wird der Zähler durch den Nenner geteilt. Dies führt zu einem Bruch mit dem Zähler als Zähler und dem Nenner als Nenner. Zum Beispiel ergibt die Umwandlung der periodischen Dezimalzahl 0,3333… in einen Bruch den Bruch 3/9.

Die Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch ermöglicht es uns, die Dezimalzahl als genauen Wert darzustellen und mathematisch mit ihr zu arbeiten. Sie ist eine nützliche Technik in vielen mathematischen Bereichen, wie der Algebra und der Analysis.

Der Prozess der Umwandlung

Die Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch besteht aus mehreren Schritten. Zuerst muss die Periodenlänge ermittelt werden. Die Periodenlänge ist die Anzahl der Ziffern, die sich immer wiederholen.

Um die Periodenlänge zu finden, wird die periodische Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt. Dazu wird eine Variable eingeführt, die den Wert des Bruchs darstellt. Die Anfangsziffern vor der wiederholenden Periode werden direkt als Dezimalzahl in die Variable geschrieben.

Die wiederholende Periode wird als eine unbekannte Variable dargestellt, zum Beispiel „x“. Die Länge der Periode wird mit „n“ bezeichnet. Die Variable für die periodische Dezimalzahl wird nun mit den richtigen Potenzen von 10 multipliziert, um die periodische Dezimalzahl zu erhalten und die Periode zu isolieren.

Der nächste Schritt besteht darin, die vorherige Gleichung zu lösen und die unbekannte Variable „x“ zu isolieren. Dazu werden einfache algebraische Manipulationen durchgeführt.

Sobald die unbekannte Variable „x“ isoliert ist, kann sie als Bruch dargestellt werden. Der Zähler des Bruchs ist dann die Differenz zwischen der periodischen Dezimalzahl und der vorherigen Variable, multipliziert mit 10 hoch n (die Anzahl der Stellen in der Periode). Der Nenner des Bruchs ist 10 hoch n – 1, um die korrekte Anzahl der Nullen am Ende des Bruchs zu haben.

Schritt für Schritt Anleitung

Schritt 1: Umwandlung der Periodenzahl

Der erste Schritt bei der Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch ist, die periodische Ziffernfolge zu identifizieren. Bei einer periodischen Dezimalzahl handelt es sich um eine Zahl, bei der eine oder mehrere Ziffern wiederholt auftreten. Die periodische Ziffernfolge wird in der Regel in Klammern geschrieben.

Schritt 2: Variable für den Bruch

Im zweiten Schritt wird eine Variable für den Bruch eingeführt. Diese Variable wird verwendet, um den Bruch darzustellen, der der periodischen Dezimalzahl entspricht. Die Variable wird mit dem Buchstaben x oder einer anderen beliebigen Variable bezeichnet.

Schritt 3: Aufstellen der Gleichung

Der dritte Schritt besteht darin, eine Gleichung aufzustellen, die die Relation zwischen der periodischen Dezimalzahl und der Variable x beschreibt. Hierbei wird die periodische Dezimalzahl als Summe aus zwei Teilen dargestellt: dem Teil vor der Periodenstelle und dem Teil der periodischen Ziffernfolge. Der Teil vor der Periodenstelle wird als ganze Zahl dargestellt, während der Teil der periodischen Ziffernfolge durch die Variable x dargestellt wird.

Schritt 4: Lösen der Gleichung

Im vierten Schritt wird die aufgestellte Gleichung gelöst, um den Wert der Variable x zu finden. Hierbei werden algebraische Techniken wie das Umstellen von Gleichungen und das Kürzen von Brüchen angewendet.

Schritt 5: Bruch umwandeln

Im letzten Schritt wird der Wert der Variable x in den Bruch eingesetzt, um die periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln. Der Bruch wird dann auf den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner gebracht und gegebenenfalls gekürzt.

Ein Beispiel zur Verdeutlichung

Problemstellung

Wir wollen eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln. Oftmals kommt es vor, dass wir im Alltag mit solchen Dezimalzahlen arbeiten müssen. Eine periodische Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der sich eine oder mehrere Ziffern immer wiederholen, zum Beispiel 0,33333… oder 0,142857142857…

Lösungsansatz

Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir die Wiederholung der Ziffern erkennen und den Bruch entsprechend aufbauen. Dazu betrachten wir zuerst die Dezimalzahl und definieren die Stelle, an der die Periodizität beginnt.

Beispiel

Angenommen, wir möchten die Dezimalzahl 0,33333… in einen Bruch umwandeln. Da es sich um eine periodische Dezimalzahl handelt, ist offensichtlich, dass die Ziffer 3 sich unendlich oft wiederholt. Wir können dies folgendermaßen darstellen: 0,33333… = 0,3(3)

Umwandlung in Bruch

Um die periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, betrachten wir die Periodizität. Da die Ziffer 3 sich unendlich oft wiederholt, setzen wir diese als Bruchzähler ein. Da die Periode aus einer Ziffer besteht, setzen wir als Nenner so viele 9 wie die Periode lang ist. In diesem Fall besteht die Periode aus einer 3, daher setzen wir den Nenner auf 9.

Der Bruch lautet also: 0,3(3) = 3/9.

Kürzen des Bruchs

Um den Bruch zu kürzen, teilen wir sowohl Zähler als auch Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler 3.

Der gekürzte Bruch lautet also: 3/9 = 1/3.

Fazit

Wir haben erfolgreich die periodische Dezimalzahl 0,33333… in den Bruch 1/3 umgewandelt. Indem wir die Periodizität erkannt haben und den Bruch entsprechend aufgebaut haben, konnten wir das Ergebnis ermitteln. Dieses Vorgehen kann auch auf andere periodische Dezimalzahlen angewendet werden.

Umrechnung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch

Beim Umrechnen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch gibt es bestimmte Schritte, die befolgt werden müssen, um das Ergebnis zu erzielen. Periodische Dezimalzahlen sind solche, die eine sich wiederholende Ziffernfolge haben, wie zum Beispiel 0,333… oder 0,142857142857…

Schritt 1: Bestimmen der zu wiederholenden Ziffernfolge

Zunächst müssen wir die Ziffernfolge bestimmen, die sich in der Dezimalzahl wiederholt. Dies können wir erreichen, indem wir die Dezimalzahl ab dem ersten auftretenden Wiederholungsmuster notieren.

Schritt 2: Schreibweise der Dezimalzahl

Die Dezimalzahl wird in der Form „a,bcde…“ notiert, wobei „a“ der ganze Teil der Dezimalzahl ist und „bcde…“ die sich wiederholende Ziffernfolge darstellt.

Schritt 3: Bestimmen des Nenners

Der Nenner des Bruchs wird basierend auf der Anzahl der Ziffern in der wiederholenden Ziffernfolge und der Stelle, an der die Wiederholung beginnt, bestimmt. Die Anzahl der Ziffern in der wiederholenden Folge wird jeweils mit 9 multipliziert und durch die Anzahl der Ziffern vor der Wiederholung geteilt.

Schritt 4: Aufstellen des Bruchs

Der Bruch wird dann mit dem Nenner und dem entsprechenden Zähler aufgestellt. Der Zähler wird durch Subtraktion der Dezimalzahl ohne die sich wiederholende Folge vom gesamten Dezimalwert erhalten.

Der so erhaltene Bruch ist dann die Umrechnung der periodischen Dezimalzahl. Durch Vereinfachen des Bruchs können weitere Schritte zur Reduktion unternommen werden, falls erforderlich.

Zusammenfassung und Anwendung

Was haben wir gelernt?

Wir haben gelernt, wie man eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandelt. Dabei haben wir gesehen, dass eine periodische Dezimalzahl aus einer endlichen Zahl vor der Periode und der periodischen Ziffernfolge besteht. Um diese Zahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir die Ziffernfolge als dezimales System interpretieren und einen Bruch daraus bilden.

Wie wendet man dieses Wissen an?

Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Identifiziere die endliche Zahl vor der Periode.
2. Identifiziere die periodische Ziffernfolge.
3. Schreibe die Ziffernfolge als Dezimalzahl in ein Gleichungssystem.
4. Löse das Gleichungssystem und erhalte den Bruch.

Beispiel

Angenommen, wir haben die periodische Dezimalzahl 0,333… Als erstes identifizieren wir die endliche Zahl vor der Periode, in diesem Fall 0. Dann identifizieren wir die periodische Ziffernfolge, in diesem Fall 3. Wir stellen die Ziffernfolge als Dezimalzahl mit einer unbekannten Variable x dar: x = 0,333… Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 10, um die Ziffernfolge zu isolieren: 10x = 3,333… Dann subtrahieren wir die ursprüngliche Gleichung von der neuen Gleichung, um die Periode zu eliminieren: 10x – x = 3,333… – 0,333… Dies führt zu 9x = 3. Daraus ergibt sich der Bruch x = 3/9, der zu x = 1/3 vereinfacht werden kann.

Anwendung

Die Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch kann in verschiedenen mathematischen Anwendungen hilfreich sein. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um den genauen Wert einer periodischen Dezimalzahl zu berechnen oder um Probleme in der Geometrie oder Physik zu lösen. Diese Technik ermöglicht es uns, genauere Ergebnisse zu erhalten und komplexe Probleme zu vereinfachen.